منطق ( بــرهــان نــامـــه )

درآمد به منطق  (ایروینگ کپی-کارل کوهن) فصل یازدهم تئوری تسویر

کشف تسویر توسط فرگه ژرفترین پیشرفت تکنیکال تاکنون در منطق است. ــ Michel Dumment

 فصل یازدهم (تئوری تسویر) دارای قسمت زیر است:

 با توجه به توانمندی که در فصل‌های نهم و دهم بدست آورد‌ایم و همین‌طور در این فصل(یازدهم) بدست خواهیم آورد؛ ازاین پس یادداشت‌هایی با عنوان "نگاه نزدیک‌تر به منطق" همراه با برگردان کتاب خواهد آمد. توضیح بیشتر در خود آن‌ها آمده است. دراین‌جا دو یادداشت, که فصل‌های نهم و دهم درآن مفروض است، با عناوین زیر آمده‌اند:
۱- یادآوری مجموعه‌ها
۲- زبان صوری و دستگاه صوری(حساب گزاره‌ها)

خلاصه فصل یازدهم-تئوری تسویر:

 در 11.1 توضیح دادیم که تکنیک‌های تحلیلی فصل‌های قبل برای آن دسته از استدلال‌ها که اعتبار آنها به ساخت داخلی آنها وابسته است کافی نیست. پس، به شرح سورگذاری عبارات عام بعنوان بک تئوری، با چند نمادسازی بیشتر، پرداختیم، بگونه‌ای که  بتوان این ساخت داخلی را عیان ساخت تا در نتیجه توانمندی تحلیلی ما  غنای بسیار یابد.

در 11.2 گزاره‌های متفرد را توضیح دادیم؛ نماد برای یک متغیر انفرادی (x) و نیز برای ثابت‌های انفرادی (حروف کوچک از a تا w) و برای ویژگی‌ها (حروف بزرگ) معرفی کردیم. سپس به معرفی تابع گزاره‌ای پرداخته، آنگونه که عبارت باشد از: از یک عبارت شامل یک متغیر انفرادی، بقسمی که وقتی یک ثابت انفرادی جانشین  آن متغیر انفرادی شود  آنگاه آن عبارت یک عبارت گزاره‌ای شود. بنابراین می‌توان یک گزاره از یک تابع‌ گزاره‌ای توسط روند موردسازی بدست آورد.

در 11.3 گفتیم چگونه می‌توان از تابع گزاره‌ای بوسیله تعمیم، یعنی باکاربرد سورهایی مانند "هرچیز"، "هیچ چیز" و "بعض چیز"، گزاره بدست آورد.  همچنین سور عمومی (x) به معنای "برای هر x" داده‌ شده‌ای"، و سور وجودی (x∃) به معنای "حداقل یک x وجود دارد  بقسمی‌که" را معرفی کردیم  و نیز بر روی مربع تقابل رابطه سور عمومی و سور وجودی را نشان دادیم.

در 11.5 با اقزودن چهار قاعده استنتاج لیست قواعد استنتاج را بشرح زیر گستراندیم:

و نشان‌داده شد که چگونه با آنها و 19 قاعده پیشتر گفته‌شده می‌توان برهان صوری اعتبار آن دسته از استدلالهای استنتاجی که وابسته به ساخت داخی گزاره‌های غیرمرکب است را ساخت.

در 11.6 نشان دادیم چگونه می‌توان متد ابطال منطقی/Refutation/تبکیت را بوسیله قیاس(ــ تمثیل) برای اثبات بی‌اعتباری استدلال‌‌های دارای گزاره‌ها سوردار بکار برد. یعنی، با ایجاد یک مدل یا عالم ممکن که دارای دقیقاً یک، یا دقیقاً دو یا دقیقاً سه (و مانند آن)  شئی انفرادی باشند و  نیز باز نویسی گزاره‌های متشکله آن استدلال در این عالم ممکن. یک استدلال سوردار(مسور) نامعتبر است اگر بتوان نشان داد یک عالم ممکن دارای حداقل یک شئی انفرادی هست، بقسمی که  در آن عالم، مقدمات استدلال درست و نتیجه آن نادرست است.
از آنجاکه یک استدلال معتبر برای هر مدل معتبر است، بعد از خواندن این قسمت، شاید این پرسش در ذهن باشد که اگر استدلال داده‌شده(برای اثبات بی‌اعتباری) معتبر باشد آنگاه روند گسترش مدل‌ها پایان‌ناپذیر خواهدبود(و اگر مجری ماشین باشد، توقف نخواهد‌کرد و درنتیجه جوابی هم در کار نخواهد بود). منطق‌دانان:
Wilhelm Ackermann در اینجا - IV. صفحه 35-SOLUTION OF THE DECISION PROBLEM FOR WELL-FORMED FORMULAS CONTAINING ONLY MONADIC PREDICATE VARIABLES
 نشان داده‌اند این روند برای استدلال‌های از نوع فصل 11(یک متغیر انفرادی) پایان‌پذیر است. به این ترتیب که اگر استدلالی(از  نوع گفته‌شده) تا مدل به اندازه 2ⁿ، که n تعداد محمول‌های متمایز استدلال است، معتبر باشد، آنگاه استدلال برای همه مدل‌ها معتبر است، یعتی معتبر است.

در 11.7 توضیح دادیم چگونه می‌توان استدلا‌های ناقیاسی/asyllogistic arguments، یعنی آنها که دارای گزاره‌های غیر قابل کاهش به گزاره‌های I، E، A و  O و گزاره‌های منفرد هستند، را نمادگذاری و برآورد کرد. در مورد پیچیدگی گزاره‌های جداساز و آنها که ابتدا باید معنای منطقی آنها فهمیده شود و سپس به توایع گزاره‌ای و سوردار درآیند نیز توجه دادیم.