۶.۶ استنتاج‌های بیواسطه بیشتر:

سه استنتاج بیواسطۀ دیگر وجود دارد که بطور مستقیم با جدول تقابل رابطه ندارند: عکس مستوی، عکس متمم و عکس نقیض.

آ. عکس مستوی / وارون ساده (Conversion):

عکس مستوی عبارت است از استنتاجی که از تعویض حدهای موضوع و محمول یک گزاره بدست آید. "هیچ مردی فرشته نیست" به "هیچ فرشته‌ای مرد نیست" وارون میشود، و میتوان یکی را از دیگری بطور معتبر نتیجه گرفت. بهمین روش "بعضی زنان نویسنده هستند" و "بعضی نویسندگان زن هستند" منطقا معادل هستند، و بوسیلۀ عکس مستوی هر یک بگونۀ معتبر میتواند از دیگری استنتاج شوند. عکس مستوی بطور کامل برای همه گزاره‌های E و همه گزاره های I معتبر است. هرگاه در یک گزاره حملی یکنوا-ساخت حدهای موضوع و محمول جابجا شوند، آنگاه به گزاره بدست‌آمده عکس مستوی گزارۀ اول گفته میشود. بنابراین "هیچ آرمانگرا سیاستمدار نیست " عکس مستوی "هیچ سیاستمداری آرمانگرا نیست" است. بطورکلی و همیشه عکس مستوی گزارۀ O معتبر نیست. گزارۀ O "بعضی حیوانات سگ نیستند" اشکارا درست است، و عکس مستوی آن، یعنی "بعضی سگها حیوان نیستند" نیز آشکارا نا درست است. یک گزارۀ O و وارون آن بصورت کلی منطقاً معادل نیستند.

گزارۀ A، دراین زمینه، نمایانگر مسئلۀ ویژه‌ای است. عکس مستوی گزارۀ A ، بطور کلی، از آن نتیجه نمیشود. از "همه سگها حیوان هستند" نمیتوان نتیجه گرفت "همۀ حیوانات سگ هستند". منطق سنتی، البته این مسئله را تشخیص داده، اما با این‌وجود چیزی شبیه عکس مستوی را برای گزاره A می‌پذیرد. در مربع سنتی تقابل میتوان بگونۀ معتبر از گزارۀ A "همه سگها حیوان هستند" متداخل محاطی آن یعنی گزارۀ I "بعضی سگها حیوان هستند" را استنتاج نمود. گزارۀ A چیزی را در بارۀ همه اعضای طبقه موضوع (سگها) میگوید، گزارۀ I ادعای بسیار محدودتری را کرده و آن فقط در بارۀ بعضی از اعضای طبقه است. بطور کلی چنین فرض گرفته‌اند که میتوان گزارۀ "برخی P ،S است" را از "همه P ،S است" نتیجه گرفت. و همانطور که در بالا دیدیم، یک گزارۀ I میتواند بگونۀ معتبر به عکس مستوی برگردان شود، اگر بعضی سگها حیوان هستند، آنگاه بعضی حیوانات سگ هستند.

بنابراین اگر گزاره A "همۀ سگ‌ها حیوان هستند" مفروض باشد، ابتدا توسط تداخل محاطی بگونۀ معتبر میتوان "بعضی سگ‌ها حیوان هستند" را نتیجه گرفت. و از آنجا با ترکیب تداخل محاطی و عکس مستوی بگونه معتبر نتیجه گرفت "بعضی حیوانات سگ هستند". بنابراین با ترکیب تداخل محاطی و عکس مستوی میتوان بطور معتبر از "همه P ،S است" به "برخی S ،P است" پیش‌رفت. این الگوی استنتاجی "تحدید عکس مستوی" نام دارد و آنرا بدین ترتیب بدست آورده که حدهای موضوع و محمول را جابجا و کمیت گزاره را از کلی به جزئی تبدیل نموده. اینگونه از برگردان بشیوه عکس مستوی در بخش بعدی بییشتر بررسی خواهدشد.

در همۀ برگردان‌ها به عکس مستوی، وارون یک گزارۀ مفروض دقیقاً دارای همان حدهای موضوع و محمول گزاره اصلی خواهد بود که ترتیب آنها وارون شده و کیفیت (موجب یا سالب) نیز همیشه دست‌نخورده باقی‌میماند. در جدول زیرتمام این نوع استنتاجات بیواسطه را، آنگونه که در منطق سنتی فهمیده میشود آورده‌ایم:

ب – طبقه و متمم طبقه (Class and Class Complement)

برای بیان گونه‌های دیگر استنتاج‌های بیواسطه، نیاز است تا ابتدا مفهوم طبقه را نزدیکتر بررسی کرده و توضیح دهیم که مراد از متمم یک طبقه چه است. همانطور که گفتیم یک طبقه عبارت است از گردآوری از همه چیزهائی که ویژگی مشترکی را در بردارند که از آن بعنوان "خاصه تعریف طبقه" یادمیشود. طبقه انسان عبارت است همه چیزهائی که دارای خاصیت انسان بودن هستند، خاصۀ تعریف طبقه دراین حالت ویژگیهای انسان بودن است. نیازی نیست خاصه تعریف طبقه یک ویژگی "ساده" باشد، هر ویژگی میتواند یک طبقه را تعریف نماید. خاصه مرکب چپ‌دستی و سرخ‌‌مویی و دانش‌جوئی، یک طبقه را تعیین میکند- طبقۀ همه دانشجویان چپ دست سرخ مو.

هر طبقه در رابطه با خود دارای طبقۀ متممی است و آن عبارت از گردآوری از همه‌چیزهائی است که متعلق به طبقه آن نباشند. متمم طبقه همۀ انسانها عبارت است همه‌چیزهائی که انسان نیستند. خاصه تعریف این طبقه متمم عبارت است از انسان نبودن(سلب). متمم طبقه انسانها شامل هیچ انسانی نیست، اما شامل همه‌چیز دیگر هست: کفش، گوسفند، لاک و هویج-- اما شامل سلاطین نمیشود زیرا سلاطین انسان هستند. اغلب به خاطر راحتی کار به جای صحبت از متمم طبقه همه انسانها میتوان ازطبقه "همه غیرانسانها" استفاده کرد.

بنابراین میتوان متمم طبقه مشخص شده توسط S را بصورت غیرS مشخص نمود[5]. و دراین صورت واژه متمم با دو برداشت بکار میرود. در یک برداشت عبارت است از متمم یک طبقه و دیگری بعنوان متمم یک حد. گرچه این دو برداشت متفاوت هستند، اما بطور نزدیک بهم مرتبط هستند. یک حد متمم(یا متمم یک حد) یک حد دیگر است هرگاه متمم طبقه مشخص شده توسط حد اول، طبقه‌ای باشد که توسط حد دوم مشخص میگردد.

توجه داشته باشید که یک طبقه، (طبقه) متمم متمم خودش است. به همین ترتیب یک حد، (حد) متمم متمم خود نیز است. در واقع نوعی از قاعده "نفی مضاعف" بخاطر جلوگیری از دنباله رشته حرفی "غیر" در اینجا بکار برده‌شده است. بنابراین متمم رای‌دهنده عبارت است از غیررای‌دهنده، اما متمم غیررای‌دهنده را بجای غیر-غیر رای‌دهنده فقط باید رای‌دهنده نوشت.

و نیز باید دقت کرد تا متضاد یک عبارت را با متمم یک عبارت اشتباه نکرد. "ترسو" و "قهرمان" متضاد هستند، زیرا یک فرد نمیتواند هم ترسو و هم قهرمان باشد. اما باید "ترسو" را با "غیرقهرمان" یکسان نگرفت، زیرا اینگونه نیست که هر فردی و همینطور هر چیزی باید یکی از دو چیز باشد. به همین ترتیب متمم عبارت "برنده" عبارت "بازنده" نیست بلکه "غیربرنده" است، زیرا اینگونه نیست که هر چیزی و همینطور هر فردی "برنده" یا "بازنده" هست، گرچه هر چیزی مطلقا برنده یا غیربرنده است.

ج. عکس‌متمم(عکس نقیض موافق)(Obversion)

وقتی مفهوم متمم فهمیده شود، استنتاج بیواسطه‌ای که عکس‌متمم نام دارد بآسانی قابل توضیح خواهد بود. برای ساختن عکس‌متمم یک گزاره کیفیت آنرا تغییر داده (موجبه به سالبه یا سالبه به موجبه) و حد محمول را با متمم آن جابجا نموده. اما حد موضوع و همچنین کمیت گزاره بدون تغییر باقی خواهند ماند برای مثال گزاره A "همه شهروندان رای‌دهنده هستند" دارای برگردان به عکس متمم گزاره E "هیچ شهروند غیررای‌دهنده نیست" خواهد بود. این دو گزاره‌های منطقن معادل هستند و هریک را میتوان بطور معتبر از دیگری بدست آورد.

عکس‌متمم برای هر گزاره حملی استاندارد-ساخت که بکار رود یک استنتاج بیواسطه معتبر خواهد بود:

• گزاره A "همه شهروندان رای‌دهنده هستند" دارای گزاره عکس متممم منطقن معتبر E "هیچ شهروند غیررای‌دهنده نیست" است.

• گزاره E "هیچ سرداوری طرفدار نیست" دارای گزاره عکس متمم منطقن معتبر A "همه سرداوران غیرطرفدار هستند" است.

• گزاره I "برخی فلزات هادی هستند" دارای گزاره عکس متمم منطقن معتبر O "برخی فلزات غیرهادی نیستند" است.

• گزاره O "برخی ملل متخاصم نبودند" دارای گزاره عکس متمم منطقن معتبر I "برخی ملل غیرمتخاصم بودند" است.

هر گزاره حملی استاندارد-ساخت منطقن معادل با عکس‌متمم خود است. بنابراین برگردان به عکس‌متمم یک شکل معتبر از استنتاج‌های بیواسطه است. برای بدست آوردن عکس‌متمم یک گزاره، کمیت (کلی یا جزئی) و حد موضوع را دست نخورده باقی گذاشته، کیفیت گزاره را تغییر داده و حد محمول را با متمم آن تعویض مینمائیم. در جدول زیر انواع  برگردان به عکس‌متمم‌های نشان داده شده اند.

د. عکس نقیض(Contraposition):

نوع سوم از استنتاج بیواسطه یعنی، عکس نقیض را میتوان به دو نوع اول یعنی عکس مستوی و عکس متمم کاهش داد. برای ساختن گزاره عکس‌نقیض حد موضوع را با متمم حد محمول، و حد محمول را با متمم حد موضوع جابجا نموده. کیفیت و کمیت دست نخورده باقی میماند، بنابراین عکس نقیض گزاره A یک گزاره A و عکس نقیض یک گزاره O یک گزاره O خواهد بود و بقیه نیز بهمین ترتیب.

برای مثال عکس نقیض گزاره A “همه اعضا رای‌دهنده هستند“ عبارت است از گزاره A “همه غیررای‌دهنده‌ها غیرعضو هستند". این دو گزاره، که بطور شهودی نیز قابل درک است، منطقن معادل هستند. عکس نقیض برای گزاره A یک استنتاج بیواسطه و خیلی سرراست بوده و بواقع چیز جدیدی را معرفی نمیکند، زیرا میتوان با عکس متمم و سپس کاربرد عکس مستوی و مجددن عکس متمم از هر گزاره A به عکس نقیض آن رسید. با شروع از گزاره "همه P ،S است"، عکس متمم آن یعنی گزاره “هیچ S غیرP نیست" را بدست آورده و سپس با کاربرد عکس مستوی، بطور معتبر به گزاره “هیچ غیرS ،P نیست” خواهیم رسید که کاربرد دوباره عکس متمم بر روی آن گزاره “همه غیرP غیرS است" را بدست میدهد. عکس نقیض گزاره A عبارت است از عکس‌متمم عکس‌مستوی عکس‌متمم آن.

عکس نقیض وقتی در مورد گزاره O بکار رود یک استنتاج بیواسطه معتبر است، گرچه به لفظ درآوردن نتیجه آن ممکن است زمخت باشد. عکس نقیض گزاره O “برخی دانشجویان آرمانگرا نیستند” گزاره ناهموار “برخی غیرآرمانگرایان غیردانشجو نیستند” خواهدشد که منطقن با مقدمه آن معادل است. میتوان نشان داد که این نیز ابتدا با عکس متمم و سپس کاربرد عکس مستوی و سرانجام با کاربرد عکس متمم بدست خواهد آمد. “برخی P ،S نیست“ باکاربرد عکس متمم به "برخیS غیرP است“ برگردان شده که عکس مستوی آن عبارت است از "برخی غیرS  ،P است.“ که عکس متمم آن عبارت خواهد بود از "برخی غیرP غیرS نیست".

برای گزاره های I در حالت کلی عکس نقیض-- یک استنتاج معتبر نیست. گزاره درست “برخی شهروندان قانون گزار نیستند،“ دارای عکس نقیض “برخی قانونگزاران شهروند نیستند” است که نادرست است. دلیل این عدم اعتبار وقتی روشن میشود که سعی کنیم عکس نقیض گزاره I را از طریق برگردانهای پی‌درپی عکس‌متمم ، عکس‌مستوی و عکس‌متمم استنتاج نمائیم. عکس‌متمم گزاره I اصلی یعنی "برخی P ،S است" عبارت است از گزاره O “برخی S غیر-P نیست،“ اما (همانطور که قبلا دیدیم) عکس مستوی گزاره O بطور معتبر از آن ساخته نمیشود.

در مورد گزاره E، همانطور که میتوان دید، عکس نقیض آن بطور معتبر بدست نمی‌آ‌‌ید. اگر از گزاره درست “هیچ کشتی‌گیر سست‌‌بنیه نیست،” شروع کنیم، گزاره آشکارا نادرست ”هیچ سست‌بنیه غیرکشتی‌گیر نیست“ را برای عکس نقیض آن بدست خواهیم آورد. دلیل این بی‌اعتباری که دوباره آنرا مرور خواهیم کرد در بدست آوردن آن با برگردانهای پی‌درپی عکس‌متمم، عکس مستوی و عکس‌متمم است، اگر با گزاره E “هیچ P ،S نیست" شروع کنیم و آن را به عکس‌متمم برگردانده به گزاره A “همهS غیرP است“ خواهیم رسید– که در حالت کلی نمیتوان آنرا بطور معتبر به عکس مستوی برگرداند مگر به صورت تحدید عکس نقیض– که این را هم در قسمت بعد بررسی خواهیم کرد.

تحدید عکس نقیض که توسط آن یک گزاره O را از گزاره E بدست آورده (برای مثال “برخی غیرP غیرS نیست“ را از “هیچ P ،S نیست" بدست ‌آوریم)، دارای یک ناجوری ویژه یکسان با تحدید عکی مستوی است، که به آن نیز وابسته است. چون یک گزاره جزئیه از گزاره کلیه استنتاج شده است، عکس نقیض نتیجه شده نمیتواند معنی یکسان داشته و همچنین نمیتواند منطقاٌ معادل با گزاره E باشد که مقدمه اصلی است. از طرفی دیگر عکس نقیض یک گزاره A یک گزاره A و عکس نقیض یک گزاره O یک گزاره O است، که در هر دو حالت عکس نقیض و مقدمه‌ای که از آن استنتاج شده است منطقن معادل هستند.

بنابراین عکس نقیض فقط وقتی در مورد A و O بکار رود معتبر است. برای گزاره‌های I بالکل نامعتبر است. برای گزاه‌های E فقط توسط تحدید معتبر است. تمام آنچه را گفته شد میتوان توسط جدول زیر نمایش داد.

اکثر مواقع میتوان با بررسی استنتاج‌های بیواسطه قابل استخراج از گزاره‌ها به پرسشهایی در باره روابط بین گزاره‌ها پاسخ گفت. برای مثال: با فرض اینکه “همه جراحان پزشک هستند“ چه چیزی را میتوان در باره درستی یا نادرستی “هیچ غیرجراحی غیرپزشک نیست“ گفت؟ آیا این یک گزاره مساله‌داراست، نقیض یا متضاد آن– آیا از گزاره درست فرض شده پیروی نمیکند؟ برای پاسخ بدین شیوه عمل میکنیم: از گزاره داده شده، "همه جراحان پزشک هستند“ میتوان عکس نقیض آنرا استنتاج کرد، یعنی "همه غیرپزشکان غیرجراح هستند". از این گزاره و با کاربرد تحدید عکس مستوی (که طبق منطق سنتی معتبر است) به گزاره "برخی غیرجراحان غیرپزشک هستند" رسیده. اما این گزاره نقیض گزاره مورد پرسش است ("هیچ غیرجراح غیرپزشک نیست") که البته این دیگر مسئله دار نیست اما معلوم شد که نادرست است.

در اولین فصل کتاب بویژه اشاره کردیم، یک استدلال معتبر با مقدمات درست باید دارای نتیجه درست باشد، اما یک استدلال که مقدمات آن نادرست است میتواند نتیجه نادرست داشته باشد. بنابراین از گزاره نادرست “همه حیوانات گربه هستند” توسط تداخل محاطی گزاره درست ”برخی حیوانات گربه هستند“ بدست میآید. و همچنین از گزاره نادرست “همه پدرها دانشجو هستند” و با کاربرد تحدید عکس مستوی میتوان گزاره درست “برخی دانشجویان پدر هستند" را بدست آورد. بنابراین چنانچه یک گزاره نادرست داشته‌باشیم و پرسشی در باره درستی و نادرستی گزاره‌های دیگری مربوط به این گزاره در میان باشد، توصیه میشود که کار را با استنتاجات بیواسطه از (الف) نقیض گزاره‌هایی که نادرستی آن مفروض است، یا (ب) از خود گزاره پرسش‌دار آغاز کنیم. نقیض یک گزاره نادرست درست است و همه نتیجه‌های ناشی از استنتاجهای معتبر از آن نیز درست خواهند بود. چنانچه کار را با گزاره مورد سئوال آغاز کنیم و بتوانیم نشان دهیم که از گزاره داده شده نادرست بدست میآید، آنگاه خود گزاره باید نادرست باشد.

در اینجا جدولی را آورده که در آن همه استنتاجات بیواسطه: عکس مستوی، برگردان‌متمم و عکس نقیض بطور کامل نشان داده شده‌اند.

پانوشت:

[5]-گاهی وقتها در استدلال از چیزی استفاده میکنیم که موسوم به متمم نسبی یک طبقه است، یعنی متمم آن در میان متمم طبقه دیگر. برای مثال درون طبقه " فرزندان من" زیرطبقه‌ی " دختران من " وجود دارند، که متمم نسبی آن زیر طبقه‌ی دیگری یعنی، " فرزندان من که دختر نیستند" یا "پسران من" است. اما برگردان‌متمم و دیگر استنتاجات بیواسطه، آنگونه که در بالا تعریف شد، تکیه بر طبقه‌های متمم مطلق دارند.

تمرین:

الف. عکس مستوی گزاره‌های زیر را بدست آورده ونشان دهید کدامیک از آنها هم‌ارز (معادل) با گزاره داده شده است.

1-هیچ فردی که ملاحظه دیگران را کند راننده بی‌دقتی نیست که به قواعد راهنمایی توجه نکند.

2-همه فارغ التحصیلان دانشکده ارتش افسران رسمی هستند.

3-بعضی از ماشینهای اروپایی قیمت بالا و اتومبیلهای کم قدرت هستند.

4-هیچ خزنده‌ای حیوان خونگرم نیست.

5-بعضی از کشتی‌گیران حرفه‌ای افراد مسن هستند که توانا به انجام کار در یک روز کاری نیستند.

ب. برگردان‌متمم گزاره‌های زیر را بنویسید.

 1-بعضی از قهرمانان دانشکده حرفه‌ای هستند.

 2-هیچ ترکیب آلی فلز نیست.

 3-بعضی روحانیون افراد خوددار نیستند.

 4-هیچ فرد با اصالت پیرو کلیسای انگلستان نیست.

 5-همه اشیائ مورد استفاده برای لنگر قایقها حداقل 15 پوند وزن دارند.

ج. عکس نقیض گزاره‌های زیر را نوشته و مشخص نمائید کدامیک با گزاره اصلی معادل است.

1-همه روزنامه‌نگاران بدبین هستند.

2-همه تحصیل‌کرده‌ها غیرواپسگرا هستند.

3-همه چیزهایی که کمتر از 50 پوند وزن دارند بیشتر از 4 فوت قد ندارند.

4-بعضی سربازان افسر نیستند. 5-بعضی غیرشهروندان غیرمقیم هستند.

د. اگر “همه سوسیالیستها صلح‌طلب هستند" درست باشد،آنگاه چه چیزی در باره درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر میتوان گفت؟ بعبارت دیگر کدام را میتوان فهمید درست، کدام نادرست، و کدام نامعین است.

 1-بعضی غیرصلح‌طلب غیرسوسیالیست است.

 2-هیچ سوسیالیست غیرصلح‌طلب نیست.

 3-همه غیرسوسیالیست‌ها غیرصلح‌طلب نیستند.

 4-هیچ غیرصلح‌طلب سوسیالیست نیست.

 5-هیچ غیرسوسیالیست غیرصلح‌طلب نیست.

 6-هر غیرصلح‌طلب غیرسوسیالیست است.

 7-هیچ غیرصلح‌طلب غیرسوسیالیست نیست.

 8-برخی سوسیالیستها غیرصلح‌طلب نیستند.

 9-هر صلح‌طلب سوسیالیست است.

 10-بعضی غیرصلح‌طلب سوسیالیست است.